A rendezett káosz, avagy a Fibonacci számok

Ha nyitott szemmel járunk a világban, valóban lépten-nyomon ugyanabba a (rejtélyes) számsorba botlunk. A részvények árfolyamának grafikus ábrázolásakor, a virágszirmok elrendeződésében, a csigaház felépítésében, vagy a galaxis csoportok elrendeződésében ugyanaz az elrendeződés sejlik.

A technikai elemzések eszköztárában egyre inkább ismert és egyben közkedvelt a Fibonacci számok alkalmazása. Könnyen és egyszerűen alkalmazható, megbízható támaszként tekintenek rá ma már sokan. A tőzsdei árfolyamok alakulásnak elemzésekor például a Fibonacci számok alkalmazásával lehet felismerni az úgynevezett ellenállási szinteket.

A Fibonacci számok felismerésének története nagyon messzire nyúlik vissza. Leonardo Fibonacci, a 12-13-ik században élt olasz matematikus nevéhez fűződnek a számok, illetve a számsor törvényszerűségeihez kapcsolódó felismerés. A matematikai szakkönyvekben az olvasható, hogy Fibonacci az egyiptomi piramisok tanulmányozásakor fedezte fel az a számsorozatot, amely azóta is a nevét viseli. Más források szerint Fibonacci ezt a számsorozatot a házinyulak szaporodása során ismerte fel. Megfigelte ugyanis, hogy egy házinyúl párból egy év alatt 233 pár utód származik.

Bizonyos források szerint a sorozatot először nem is Fibonacci, hanem két indiai matematikus, Gopala és Hemacsandra írta le 1150-ben. A szanszkrit költészet elméleti kérdéseit vizsgálva ütköztek abba az összegre bontási problémába, hogy hányféleképpen lehet rövid és hosszú szótagokkal kitölteni egy adott időtartamot. A jelenlegi ismeretek szerint azonban tőlük teljesen függetlenül ismerte fel 1202-ben Fibonacci az összefüggéseket, aki Liber Abaci (Könyv az abakuszról) című művében ír róla. Az 1170 és 1250 között élt itáliai matematikus, Leonardo di Pisa (ma ismert nevén Leonardo Fibonacci) valószínűleg nem gondolta volna, hogy ilyen legendássá válik az egyébként már a 6-ik századi Indiában is ismert számsorozat. Évszázadokkal később, Kepler 1611-ben megjelent könyvében, a The Six-Cornered Snowflake-ben (hatszögletű hópehely) újra felfedezte, és különféle természeti jelenségekkel is kapcsolatba hozta. A természetben nagyon sok helyen megjelenik. A liliomnak, a nősziromnak és a hármassziromnak három; a haranglábnak, a boglárkának és a vadrózsának öt; a szarkalábnak, a vérpipacsnak és a pillangóvirágnak nyolc; a jakabnapi aggófűnek, a hamvaskának és a körömvirágnak 13; az őszirózsának, a borzas kúpvirágnak és a cikóriának 21; a fodroslevelű margitvirágnak, az útilapunak és egyes százszorszépeknek 34; más százszorszép-fajoknak pedig 55 vagy 89 szirma van. Véletlen lenne, hogy ezek min-mind a Fibonacci sorozat számainak felelnek meg?

Természettudósok szerint ennek az lehet a magyarázata, hogy ez a legjobb módszer az arányos növekedésre. A logaritmikus spirál mintázatát sok élőlény ezért próbálja követni. A napraforgó tányérja esetében a leghatékonyabban tölthetik ki a magok a rendelkezésre álló területet. A természetben fellelhető „legszabályosabb” egyedek megfelelő szögből történő lefényképezésével könnyen találni olyan spirális alakzatokat, amelyek tökéletesen követik az arany spirált, az aranymetszés arányait. Vannak élőlények azonban, melyek más spirál alakzatokat követnek.

A számsorozat képzése nem túl bonyolult, viszont annál érdekesebb. A számok meghatározása úgy történik, hogy az első tagot 1-nek vesszük, majd ezt követően a sorozat következő tagját az azt megelőző két szám összegeként kapjuk. Valami hasonló, mint amivel logikai feladványok esetében találkozunk gyakran. Tehát a Fibonacci sorozat tagjai a következők:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, stb.

Ha ezeket a számokat négyszögek oldalának hosszaként használjuk fel, a négyszögeket egymás mellé rakjuk és pontjaikat körívekkel összekötjük, akkor az aranyspirálhoz jutunk, amelyet a természet megannyi csodálatos teremtményében, sőt a világegyetemben is felfedezhetünk. Ezek a számok több érdekességet mutatnak. Ha ugyanis elosztjuk a számokat a sorozat következő elemével, akkor a hányados egy konstans szám, 0.618 felé konvergál, ha a nagyobbal osztjuk el a kisebbet, akkor pedig a hányados 1.1618 felé konvergál. Ez a szám pedig már ismerős lehet sokak számára. Ezt az arányt már az ókori görögök is ismerték, és aranymetszésnek hívták. A megdöbbentő az egészben, hogy aranymetszés arányai megdöbbentő módon nem csak az emberi alkotásokban, hanem a természetben és számtalan helyen megtalálhatóak. Egyes virágok alakjai, a szirmok elrendeződésében, a pálmafák ágainak arányaiban, a csigaház formájában felismerhető. De az A/4-es papírlap oldalainak aránya, az athéni Parthenón, New York-i ENSZ Palota, kártyák alakjai, az emberi test köldök feletti és alatti része, egyesek szerint a női mellek elhelyezkedése a felsőtesten, stb., mind ezt a logikát követi.

Az aranymetszés arányai, illetve a Fibonacci számsor logikája felhasználható a tőzsdei árfolyamok előrejelzésében is. Ez némileg meglepő, hiszen mi köze lehet a részvények árfolyamának pl. a virágszirmok elrendeződéséhez. De lehet, hogy nincs köze hozzá, csak a tőzsdén az árfolyamok is követnek valamiféle szabályszerűséget.

Az aranymetszés aránya akkor áll fenn, ha a két szakasz közötti arány pontosan megegyezik az egyenes és a nagyobbik szakasz arányával. A Fibonacci számokkal kapcsolatban négy elképzelés vált ismerté a tőzsdei használatban, melyek alapvetően csak az ábrázolás tekintetében térnek el egymástól. Mind a négy típus esetén az egyes Fibonacci szintek támasz és ellenállási szintet jelentenek, illetve a meghatározó szintek elérésének idejére vonatkozóan adnak jelzést. Léteznek Fibonacci ívek, vonalak, legyezők és időzónák. Legismertebbek a Fibonacci vonalak, melyet a grafikon két extrém pontja közé húzott segédegyenessel rajzolható meg. A kapott Fibonacci szintek legtöbb esetben támaszt jelentenek, illetve ellenállási szintként viselkednek.

Általában egy lokális mélypont és a csúcspont közé szokták ezt a segédvonalat berajzolni. Amennyiben a piac egy emelkedő hullám után lefelé tart, és a Fibonacci szintek felhasználásával szeretnénk az esetleges fordulópontokat meghatározni, akkor a vonalat a lokális mélyponthoz illesztjük, a másikat pedig a lokális csúcstól indítjuk. Termesztésen a Fibonacci szintek nem tekinthetőek áttörhetetlen betonfalnak. A tapasztalatok szerint azonban mégis valamiféle meghatározó szintekről beszélünk, amelyek elérése esetén nem árt felkészülni a fordulóra. Pénznemek, részvények árfolyamának alakulását vizsgálva sok esetben felismerhető a tendencia. De ahogyan említettük, a Fibonacci sorozat megjelenik a csigaházakban, az emberi testben, de a kaktuszoknál, napraforgónál, vagy a brokkoliban is. Leonardo Fibonacci 1202-ben, a piramisokon, más verzió szerint a szaporodó nyulak számán gondolkodva alkotta meg a számsort. Kevesen tudják, hogy Fibonacci terjesztette el az arab számokat is Európában Liber Abaci című könyvével. Ez adott a matematika fejlődésének is egy hatalmas lökést. Érdekesség, hogy a költészetben és a zenében, például Bartók műveiben is felfedezhető a számsor logikája az egyes zenei gondolatok ütemsorrendjében. De nem csak Bartóknál lehet felismerni. A számsor a zenében is felismerhető. Ha a kromatikus skálára tekintünk, 13 félhangból áll, amelyet a zongora billentyűire nézve véletlenül (?) éppen 5 fekete és 8 fehér billentyűzet alkot.